Como fazer arte com matemática – arte Fractal – Senarius

a arte Fractal representa a aliança da arte e da matemática. Esta forma de arte recente usa computadores para fazer imagens de fórmulas matemáticas. A arte Fractal tem uma aparência frequentemente geométrica, padrões intrincados e uma riqueza de detalhes. Mas como você cria imagens a partir de fórmulas matemáticas ?

em primeiro lugar, o que significa” Fractal”?Na década de 1970, o cientista da computação Benoit Mandelbrot descobriu uma das imagens fractais mais famosas: O conjunto Mandelbrot.

essa descoberta é possível graças ao desenvolvimento do computador, em particular graças ao poder de computação. Também ocorre no contexto científico do desenvolvimento da teoria do Caos que estuda fenômenos dinâmicos (turbulência, vórtices em um fluido, oscilação, forma de nuvem, etc.).

da mesma forma, a geometria fractal é encontrada nas formas da natureza com contornos complexos (Floco de neve, folha de uma árvore, forma de nuvens, redemoinhos, arborescência da rede sanguínea, forma de costas marítimas, etc.) que era difícil de entender e modelar com as ferramentas matemáticas anteriores.

Características das imagens fractais

A dimensão fractal

O termo “fractal” refere-se à idéia de um não-todo, dimensão fracionária. Até a década de 1960, a matemática estudada decomponível objetos usando inteiro dimensões:

um ponto: dimensão 0

uma linha: dimensão 1

um plano: dimensão 2

um volume: dimensão 3

Mas imagine uma folha de papel. Representa um plano, portanto, tem uma dimensão igual a 2. Se amassarmos esta folha, ela agora ocupa um volume (dimensão 3), mas não é um volume porque não podemos “preencher” a folha amassada com um material como se enchesse um recipiente. A dimensão da folha amassada está, portanto, entre 2 e 3 : 2.568, por exemplo. Uma dimensão fractal ! Os objetos fractais, portanto, têm formas complexas e irregulares, com contornos dobrados e dobrados sobre si mesmos.

auto-similaridade

apesar de sua complexidade, um objeto fractal exibe detalhes semelhantes. O zoom dentro de um fractal mostra o mesmo padrão geral repetido em diferentes escalas e no infinito. Uma parte é, portanto, semelhante ao todo. Essa propriedade é chamada de invariância de escala.

Tipologia

Fractais por recorrência

IFS, iterado funções de sistemas

Geração de imagens fractais, “Simplicidade raças complexidade”

A construção de imagens fractais é baseado no uso de um Algoritmo executado em um loop. É um processo iterativo que repete uma série de operações simples.

fractais por recorrência

para cada ponto no espaço, as coordenadas do ponto são passadas para uma equação. O resultado é então alimentado de volta à mesma equação. A operação é realizada várias vezes seguidas (iterações). Então testamos o resultado. Se o resultado tende ao infinito, o ponto de partida não está no todo : é de cor branca. Se o resultado permanecer estável ou periódico, o ponto de partida é no todo : é de cor preta. Para pontos no limite, é mais difícil determinar se eles estão no conjunto ou fora. É então necessário realizar mais iterações. Dependendo do número de iterações necessárias para determinar o ponto, ele é colorido em diferentes tons. Os pontos desta fronteira dão ao fractal sua aparência complicada e emaranhada.

para desenhar o conjunto Mandelbrot, usamos números complexos que representam cada um um pixel no plano. Executamos a seguinte equação para cada ponto : Zn + 1 = Zn2 + C, com Z0 = 0.

IFS, sistemas de funções iteradas

a construção da imagem é feita aqui copiando-se. Mas a cada cópia, a imagem copiada passa por uma transformação geométrica (uma transformação linear representada em matemática por uma função linear). Essas transformações podem ser rotações, achatamento, cisalhamento … as cópias também são contraídas antes de serem colocadas de volta na imagem original. O processo é repetido até que uma imagem seja formada.

Este exemplo resulta na imagem do triângulo de Sierpinski.

outro exemplo é a geração do floco de neve Koch.

o IFS pode facilmente produzir imagens que lembram objetos naturais, como árvores, Samambaias, etc.