L’art fractal représente l’alliance de l’art et des mathématiques. Cette forme d’art récente utilise des ordinateurs pour créer des images à partir de formules mathématiques. L’art fractal a une apparence souvent géométrique, des motifs complexes et une richesse de détails. Mais comment allez-vous créer des images à partir de formules mathématiques?
- Tout d’abord, que signifie « fractale »?
- Caractéristiques des images fractales
- La dimension fractale
- Auto-similitude
- Typologie
- Fractales par récurrence
- systems, systèmes de fonctions itérées
- Génération d’images fractales, « La simplicité engendre la complexité »
- Fractales par récurrence
- systems, systèmes de fonctions itérées
Tout d’abord, que signifie « fractale »?
Dans les années 1970, l’informaticien Benoit Mandelbrot découvre l’une des images fractales les plus célèbres : l’ensemble de Mandelbrot.
Cette découverte est rendue possible par le développement de l’ordinateur, notamment grâce à la puissance de calcul. Elle s’inscrit également dans le contexte scientifique du développement de la théorie du Chaos qui étudie les phénomènes dynamiques (turbulence, tourbillons dans un fluide, oscillation, forme de nuage, etc.).
De même, la géométrie fractale se retrouve dans les formes de la nature aux contours complexes (flocon de neige, feuille d’arbre, forme des nuages, tourbillons, arborescence du réseau sanguin, forme des côtes maritimes, etc.) qu’il était difficile à comprendre, et à modéliser avec les outils mathématiques précédents.
Caractéristiques des images fractales
La dimension fractale
Le terme « fractale » fait référence à l’idée d’une dimension fractionnaire non entière. Jusque dans les années 1960, les mathématiques étudiaient les objets décomposables en utilisant des dimensions entières :
un point: dimension 0
une ligne: dimension 1
un plan: dimension 2
un volume: dimension 3
Mais imaginez une feuille de papier. Il représente un plan, a donc une dimension égale à 2. Si nous froissons cette feuille, elle occupe maintenant un volume (dimension 3), mais n’est pas un volume car nous ne pouvons pas « remplir » la feuille froissée avec un matériau comme on remplirait un conteneur. La dimension de la feuille froissée est donc comprise entre 2 et 3 : 2,568 par example. Une dimension fractale ! Les objets fractaux ont ainsi des formes complexes et irrégulières, avec des contours repliés et repliés sur eux-mêmes.
Auto-similitude
Malgré sa complexité, un objet fractal présente des détails similaires. Le zoom à l’intérieur d’une fractale montre le même motif global répété à différentes échelles et à l’infini. Une partie est donc semblable à l’ensemble. Cette propriété est appelée invariance d’échelle.
Typologie
Fractales par récurrence
systems, systèmes de fonctions itérées
Génération d’images fractales, « La simplicité engendre la complexité »
La construction d’images fractales repose sur l’utilisation d’algorithmes exécutés en boucle. C’est un processus itératif répétant une série d’opérations simples.
Fractales par récurrence
Pour chaque point de l’espace, les coordonnées du point sont passées dans une équation. Le résultat est ensuite renvoyé dans la même équation. L’opération est effectuée plusieurs fois de suite (itérations). Ensuite, nous testons le résultat. Si le résultat tend vers l’infini, le point de départ n’est pas dans l’ensemble: il est coloré en blanc. Si le résultat reste stable, ou périodique, alors le point de départ est dans l’ensemble: il est coloré en noir. Pour les points à la limite, il est plus difficile de déterminer s’ils sont dans l’ensemble ou à l’extérieur. Il est alors nécessaire d’effectuer d’autres itérations. Selon le nombre d’itérations nécessaires pour déterminer le point, il est coloré dans différentes nuances. Les points de cette bordure donnent à la fractale son aspect compliqué et emmêlé.
Pour dessiner l’ensemble de Mandelbrot, nous utilisons des nombres complexes qui représentent chacun un pixel sur le plan. Nous exécutons l’équation suivante pour chaque point: Zn + 1 = Zn2 + C, avec Z0 = 0.
systems, systèmes de fonctions itérées
La construction d’image se fait ici en se copiant elle-même. Mais à chaque copie, l’image copiée subit une transformation géométrique (une transformation linéaire représentée en mathématiques par une fonction linéaire). Ces transformations peuvent être des rotations, des aplatissements, des cisaillements The Les copies sont également contractées avant d’être replacées sur l’image originale. Le processus est répété jusqu’à ce qu’une image soit formée.
Cet exemple donne l’image du triangle de Sierpinski.
Un autre exemple est la génération du flocon de neige de Koch.
LesFS peuvent facilement produire des images rappelant des objets naturels, tels que des arbres, des fougères, etc.
