How to make art with mathematics – Fractal Art-Senarius

Fractal art represents the alliance of art and mathematics. Deze recente kunstvorm gebruikt computers om beelden te maken van wiskundige formules. Fractal kunst heeft een vaak geometrische uitstraling, ingewikkelde patronen en een schat aan detail. Maar hoe ga je om met het maken van afbeeldingen uit wiskundige formules ?

allereerst, wat betekent “Fractal”?In de jaren 70 ontdekte computerwetenschapper Benoit Mandelbrot een van de beroemdste fractalafbeeldingen: de Mandelbrot-set.

deze ontdekking wordt mogelijk gemaakt door de ontwikkeling van de computer, met name dankzij de rekenkracht. Het vindt ook plaats in de wetenschappelijke context van de ontwikkeling van de chaostheorie die dynamische fenomenen bestudeert (turbulentie, wervelingen in een vloeistof, oscillatie, wolkvorm, enz.).

evenzo wordt fractale geometrie gevonden in de vormen van de natuur met complexe contouren (Sneeuwvlok, blad van een boom, vorm van wolken, wervelingen, arborescentie van het bloednetwerk, vorm van maritieme kusten, enz.) dat het moeilijk te begrijpen was, en te modelleren met de vorige wiskundige instrumenten.

kenmerken van fractalafbeeldingen

de fractaldimensie

de term “fractal” verwijst naar het idee van een niet-Gehele fractionele dimensie. Tot de jaren zestig bestudeerde de wiskunde decomposeerbare objecten met behulp van gehele dimensies:

een punt: dimensie 0

een lijn: dimensie 1

een plan: dimensie 2

een volume: dimensie 3

maar stel je een vel papier voor. Het vertegenwoordigt een vlak, heeft daarom een dimensie gelijk aan 2. Als we dit vel verfrommelen, neemt het nu een volume in (dimensie 3), maar is geen volume omdat we het verfrommelde vel niet kunnen “vullen” met een materiaal zoals men een container zou vullen. De afmeting van de verfrommelde plaat ligt dus tussen 2 en 3 : 2,568 bijvoorbeeld. Een fractale dimensie ! Fractal objecten hebben dus complexe, onregelmatige vormen, met contouren gevouwen en gevouwen op zichzelf.

Zelfgelijkbaarheid

ondanks de complexiteit vertoont een fractal object vergelijkbare details. Inzoomen in een fractal toont hetzelfde algemene patroon herhaald op verschillende schalen, en in het oneindige. Een deel is dus vergelijkbaar met het geheel. Deze eigenschap wordt schaalinvariantie genoemd.

Typologie

Fractals door herhaling

IFS, herhaald functies systemen

generatie van fractalafbeeldingen,”eenvoud leidt tot complexiteit”

de constructie van fractalafbeeldingen is gebaseerd op het gebruik van algoritmen die in een lus worden uitgevoerd. Het is een iteratief proces dat een reeks eenvoudige bewerkingen herhaalt.

Fractals door herhaling

voor elk punt in de ruimte worden de coördinaten van het punt doorgegeven in een vergelijking. Het resultaat wordt dan teruggevoerd in dezelfde vergelijking. De bewerking wordt meerdere keren achter elkaar uitgevoerd (iteraties). Dan testen we het resultaat. Als het resultaat naar oneindigheid neigt, dan is het uitgangspunt niet in het geheel : het is wit gekleurd. Als het resultaat stabiel of periodiek blijft, dan is het uitgangspunt in het geheel: het is zwart gekleurd. Voor punten op de grens, is het moeilijker om te bepalen of ze in de set of buiten. Het is dan noodzakelijk om meer iteraties uit te voeren. Afhankelijk van het aantal iteraties die nodig zijn om het punt te bepalen, is het gekleurd in verschillende tinten. De punten van deze grens geven aan de fractal zijn ingewikkelde en verwarde verschijning.

om de Mandelbrot-verzameling te tekenen, gebruiken we complexe getallen die elk een pixel op het vlak vertegenwoordigen. We voeren de volgende vergelijking uit voor elk punt: Zn + 1 = Zn2 + C, met Z0 = 0.

IFS, iterated functions systems

Image construction wordt hier gedaan door zichzelf te kopiëren. Maar bij elke kopie ondergaat het gekopieerde beeld een geometrische transformatie (een lineaire transformatie die in de wiskunde wordt voorgesteld door een lineaire functie). Deze transformaties kunnen rotaties zijn, afvlakken, knippen … de kopieën worden ook gecontracteerd voordat ze weer op de originele afbeelding worden geplaatst. Het proces wordt herhaald totdat een beeld wordt gevormd.

dit voorbeeld resulteert in de afbeelding van de Sierpinski driehoek.

een ander voorbeeld is de generatie van de Koch Sneeuwvlok.

IFS kan gemakkelijk beelden produceren die doen denken aan natuurlijke objecten, zoals bomen, varens, enz.